2  Kehä­kulma­lause

2.2 Kehä­kulma­lause

Tutkitaan seuraavaa kuvaa.

Pisteet $A, B, X$ ja $Y$ ovat siis mielivaltaisia pisteitä ympyrän kehällä. Kehä­kulma­lause sanoo, että punaisella merkityt kulmat ovat yhtä suuret.

Toisin sanoen samaa kaarta (kuvassa punaisella) vastaavat kehä­kulmat ovat yhtä suuria.

Huomaa lauseen oletus pisteiden $X$ ja $Y$ sijainnista. Tämä oletus on välttämätön, kuten seuraavasta kuvasta nähdään: toinen kulmista näyttää olevan tylppä ja toinen terävä.

Tähän tilanteeseen palataan alempana.

Kehä­kulma­lauseesta on toinen versio, joka yhdistää kehä­kulman ja ns. keskus­kulman suuruudet toisiinsa: keskus­kulma on kaksin­kertainen kehä­kulmaan verrattuna.

2.3 Kehä­kulma­lauseen todistus

Todistamme kehä­kulma­lauseen keskus­kulma­version. Tästä seuraa, että kaikki samaa kaarta vastaavat kehä­kulmat ovat yhtä suuria, koska jokainen niistä on puolet kaarta vastaavasta keskus­kulmasta.

Tutkitaan siis seuraavaa kuvaa. Kuvaan on merkitty avuksi suoran $XO$ leikkaus­piste janan $AB$ kanssa.¹

Merkitään kulmaa $\angle AXO$ kirjaimella $\alpha$. Koska ympyrän säteet $OA$ ja $OX$ ovat yhtä pitkät, kolmio $AOX$ on tasa­kylkinen ja siten myös toinen kanta­kulma $\angle OAX$ on suuruudeltaan $\alpha$. Koska kolmion kulmien summa on $180$ astetta, saadaan laskettua kolmion huippu­kulma: $$\angle XOA = 180^{\circ} - \alpha - \alpha = 180^{\circ} - 2\alpha.$$ Oiko­kulma on $180^{\circ}$, joten $$\angle AOP = 180^{\circ} - \angle XOA = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\alpha) = 2\alpha.$$

Olemme siis todistaneet, että $\angle AOP$ on kaksin­kertainen kulmaan $\angle AXP$ verrattuna. Vastaavilla laskuilla saadaan todistettua, että $\angle POB$ on kaksin­kertainen kulmaan $\angle PXB$ verrattuna. Täten koko keskus­kulma $\angle AOB$ on kaksin­kertainen kulmaan $\angle AXB$ verrattuna, mikä oli todistettavana.

2.4 Kehä­kulma­lause vastakkaisille kulmille

Tutkitaan vielä tapausta, jossa kehä­kulmat ovat eri puolilla vastaavaa janaa.

Kuten aiemmin todettiin, kehä­kulmat eivät tässä tapauksessa ole samat. Niillä on kuitenkin vahva yhteys: niiden summa on $180$ astetta.

Ajatuksena on, että $\angle AXB$ ja $\angle BYA$ ovat kaksi kehä­kulmaa, jotka yhdessä vastaavat koko ympyrän kehää.

Todistus perustuu kehä­kulma­lauseen keskus­kulma­versioon. Tutkitaan seuraavaa kuvaa.

Olemme yllä todistaneet, että kehä­kulma on puolet keskus­kulmasta, eli $$\angle AXB = \frac{1}{2}\angle AOB$$ (kuvan punaiset kulmat). Tämä toimii myös, vaikka keskus­kulma olisi yli $180$ astetta, kuten kuvan sininen keskus­kulma $\angle BOA$. Siis sininen kehä­kulma on puolet sinisestä keskus­kulmasta: $$\angle BYA = \frac{1}{2}\angle BOA$$ Keskus­kulmien summan suuruus on täysi kulma eli $360$ astetta, joten kehä­kulmien summa on puolet tästä, $180$ astetta.

2.5 Tehtäviä

Tässä on kulmien laskemista käsitteleviä tehtäviä. Pidä erityisesti kehä­kulma­lauseen eri versiot mielessä, mutta älä unohda myöskään muita perus­työ­kaluja. Tehtävät vaikeutuvat loppua kohti. (Vaikeimpiin tehtäviin voi myös palata myöhemmin.)

Tehtävä 1 $AB$ on ympyrän halkaisija, ja $X$ on piste ympyrän kehällä. Kuinka suuri on kulma $\angle AXB$ (kuvassa punaisella)?

Tehtävä 2. Alla olevassa kuvassa on tasa­sivuinen kolmio ja säännöllinen yhdeksän­kulmio. Laske punaisella merkitty kulma.

Tehtävä 3. Pisteet $A, B$ ja $C$ ovat ympyrän kehällä. Ympyrän keski­piste on $O$. Tiedetään, että $\angle CBA = 75^{\circ}$. Kuinka suuri on kulma $\angle OAC$?

Tehtävä 4. Kuvassa on kolme ympyrää ja neli­kulmio $PQRS$. Janat $PQ$ ja $RS$ kulkevat ympyröiden leikkaus­pisteiden kautta. Tiedetään, että $\angle QPS = 55^{\circ}$. Laske kulma $\angle SRQ$.

Tehtävä 5. Kuvassa on kuusi pistettä $A, B, C, D, X$ ja $Y$. Tiedetään, että $\angle BXA = \angle CXB = \angle DXC$ (kuvassa punaisella) ja $\angle BYA = \angle CYB = \angle DYC$ (kuvassa sinisellä). Lisäksi tiedetään, että $\angle XAY = 21^{\circ}$ ja $\angle XDY = 30^{\circ}$ (kuvassa violetilla). Kuinka suuria ovat kulmat $\angle XBY$ ja $\angle XCY$?

Tehtävä 6. Kuvassa pisteet $A, B$ ja $C$ ovat samalla ympyrällä. Ympyrällä on piste $M$ niin, että $AM$ puolittaa kulman $\angle BAC$, eli $\angle BAM = \alpha$ ja $\angle MAC = \alpha$ (kuvassa sinisellä).

1. Osoita, että janat $MB$ ja $MC$ ovat yhtä pitkät.

2. Piirretään ympyrä, jonka keski­piste on $M$ ja joka kulkee pisteen $B$ kautta. Tämä ympyrä leikkaa janan $AM$ pisteessä $I$. Osoita, että $\angle CBI$ on puolet kulmasta $\angle CBA$.

Tehtävä 7. Kuvassa pisteet $A, B$ ja $C$ ovat samalla ympyrällä. Ympyrällä on piste $P$ niin, että $AP$ ja $BC$ ovat kohti­suorassa toisiinsa nähden. Piste $H$ on pisteen $P$ peilaus janan $BC$ yli. Janan $BH$ jatke leikkaa janan $AC$ pisteessä $E$. Osoita, että kulma $\angle BEC$ on $90^{\circ}$.