3  Aritmetiikan peruslause

3.1 Johdanto

Lukuteorian perusta on alkuluvut ja yksikäsitteinen alkutekijähajotelma. Tässä tekstissä käsitellään näitä aiheita ja niiden sovelluksia.

3.2 Alkuluvut

Alkulukujen käsite on tuttu yläkoulusta:

Lukua $$ pienemmät alkuluvut ovat täten $$

Alkuluvuista voi kysyä monia kiinnostavia kysymyksiä. Ehkäpä luontevin on seuraava: montako niitä on? Tähän vastaa seuraava lause.

Alkulukuja on siis paljon enemmän kuin yllä listatut muutama ensimmäinen!

Lauseen todistukseen palataan tämän tekstin loppupuolella.

3.3 Aritmetiikan peruslause

Seuraava tulos on tärkein syy sille, minkä takia alkuluvuista puhutaan niin paljon.

Tätä esitystä alkulukujen tulona kutsutaan luvun alkutekijähajotelmaksi.

Tässä on muutaman ensimmäisen luvun alkutekijähajotelmat:

Ja vielä yhtenä esimerkkinä $$ voidaan kirjoittaa tulona $$. Tietysti tulon tekijöiden järjestystä voidaan vaihtaa (esimerkiksi $$), mutta tämän ajatellaan olevan sama esitys luvulle $$.

Aritmetiikan peruslause siis sanoo, että alkuluvut ovat eräänlaisia ”rakennuspalikoita”, joista muut luvut koostuvat. Luvun alkutekijähajotelman tutkiminen on usein hyödyllinen idea lukuteorian ongelmissa, koska tämä kertoo, millaisista palikoista luku rakentuu.

Lausetta ei todisteta vielä, koska todistus on yllättävän vaikea. Todistukseen palataan myöhemmin, kun on saatu enemmän lukuteorian osaamista.

3.5 Alkutekijähajotelman laskeminen käytännössä

Miten käytännössä lasketaan jonkin suuren luvun alkutekijähajotelma? Tarkastellaan esimerkiksi lukua $$.

Alkutekijähajotelman etsimisen sijasta käytännössä puhutaan usein luvun jakamisesta (alku)tekijöihin. Idea on, että jaamme lukua sen tekijöillä. Tässä tapauksessa huomaamme, että $$ on parillinen, joten kirjoitetaan $$. Jatketaan etsimällä luvun $$ alkutekijähajotelma. Luku ei ole jaollinen kahdella tai kolmella, mutta viidellä se on: $$.

Luku $$ ei ole jaollinen kahdella, kolmella eikä viidellä. Laskemalla lisää huomataan, ettei se ole jaollinen myöskään seitsemällä. Alkaa tuntua siltä, että $$ on alkuluku. Miten tästä voidaan varmistua?

Yksi tapa on käydä läpi kaikki luvut kahdesta sataan ja katsoa, ettei $$ ole jaollinen millään niistä. Tämä on kuitenkin hyvin työlästä. Yritetään keksiä parempi tapa.

Kuvitellaan, että $$ ei ole alkuluku, joten sen alkutekijähajotelmassa olisi vähintään kaksi alkulukua. Kuinka suuria ne voisivat olla? Vähintään yhden niistä pitää olla enintään $$: muutenhan alkutekijöiden tulo olisi vähintään $$, mikä ei tietenkään sovi.

Siis jotta voimme varmistua siitä, että $$ on alkuluku, riittää käydä läpi vain ne alkuluvut, jotka ovat enintään $$. Tämän me teimmekin jo. Koska $$ ei ole jaollinen millään luvuista $$ ja $$, on se alkuluku.

Täten luvun $$ alkutekijähajotelma on $$

3.6 Tehtäviä

Tehtävä 1.

Luettele kaikki lukua $$ pienemmät alkuluvut.

Tehtävä 2.

Laske lukujen $$, $$ ja $$ alkutekijähajotelmat. Laske myös näiden lukujen tekijöiden määrät.

Tehtävä 3.

Mitkä luvuista $$ ovat alkulukuja?

Tehtävä 4.

1. Mikä on suurin luku, joka jakaa molemmat luvuista $$ ja $$? (Tätä lukua kutsutaan lukujen $$ ja $$ suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi ja sitä merkitään $$.)

2. Mikä on pienin luku, joka on jaollinen molemmilla luvuista $$ ja $$? (Tätä lukua kutsutaan lukujen $$ ja $$ pienimmäksi yhteiseksi jaettavaksi ja sitä merkitään $$.)

Tehtävä 5. Perustele seuraava väite: jos $$ on sellainen kokonaisluku, että $$ on jaollinen luvulla $$, niin myös $$ itse on jaollinen luvulla $$.

Tehtävä 6. Onko olemassa sellaista positiivista kokonaislukua $$, että $$ on jonkin kokonaisluvun neliö (eli toinen potenssi) ja $$ on jonkin kokonaisluvun kuutio (eli kolmas potenssi)?

Tehtävä 7. Osoita, että jos $$ on neliöluku, niin luvulla $$ on pariton määrä tekijöitä. Osoita, että muussa tapauksessa luvulla $$ on parillinen määrä tekijöitä.

Tehtävä 8. Kuinka moneen nollaan luku $$ päättyy?