24  Pisteen potenssi ja radikaali­akselit

24.2 Pisteen potenssi

24.2.1 Ympyrän ulko­puolinen tapaus

Piirretään ympyrä ja valitaan piste $P$ sen ulko­puolelta. Piirretään $P$:n kautta suora, joka leikkaa ympyrän pisteissä $A$ ja $B$. Pisteen potenssi sanoo, että pituuksien tulo $PA \cdot PB$ ei riipu valitusta suorasta.

Todistus. Idea on, että kuvion jänne­neli­kulmio antaa yhtä suuria kulmia, mistä saadaan pituusinformaatiota yhden­muotoisten kolmioiden kautta.

Osoitetaan, että kolmiot $PAC$ ja $PDB$ ovat yhden­muotoisia. Niillä on yksi yhteinen kulma kärjessä $P$. Lisäksi koska $ABDC$ on jänne­neli­kulmio, pätee $$\angle PAC = 180^{\circ} - \angle CAB = \angle BDP,$$ eli toisetkin kulmat ovat samat ja kolmiot ovat yhden­muotoisia. Täten sivujen suhteet ovat samat: $$\frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB}.$$ Väite seuraa.

24.2.2 Ympyrän sisä­puolinen tapaus

Pisteen potenssi toimii myös, vaikka $P$ olisi kolmion sisä­puolella. Todistus on sama kuin edellä: kolmiot $PAC$ ja $PDB$ ovat taas yhden­muotoisia, koska $ACBD$ on jänne­neli­kulmio.

24.3 Radikaali­akselit

Valitaan jotkin kaksi ympyrää. Missä ovat ne pisteet, joiden pisteen potenssit kummankin ympyrän suhteen ovat samat?

Tutkitaan esimerkin vuoksi kuvan 24.3 tapausta. Huomataan, että ainakin leikkaus­pisteet $A$ ja $B$ toteuttavat ehdon: niiden pisteen potenssi molempien ympyröiden suhteen on $0$. Oikeastaan mikä tahansa suoran $AB$ piste $P$ toteuttaa ehdon, koska $P$:n potenssi molempien ympyröiden suhteen on $PA \cdot PB$.

Osoittautuu, että muita ehdon toteuttavia pisteitä ei ole, eli saman pisteen potenssin omaavien pisteiden joukko on suora. Tätä suoraa kutsutaan ympyröiden radikaali­akseliksi. Radikaali­akseli on suora silloinkin, kun ympyrät eivät leikkaa.

Todistus. Idea lyhyesti: laitetaan tilanne koordinaatistoon ja lasketaan.

Laitetaan ympyrät koordinaatistoon. Voimme asettaa koordinaatiston niin, että ympyröiden keski­pisteet ovat $x$-akselilla. Olkoon siis ympyrän $\omega_1$ keski­piste $(x_1, 0)$ ja säde $r_1$, ja olkoon vastaavasti ympyrän $\omega_2$ keski­piste $(x_2, 0)$ ja säde $r_2$.

Valitaan sitten jokin piste $P = (x, y)$ ja tutkitaan, onko sen pisteen potenssit ympyröiden suhteen samat.

Pisteen $P$ potenssi ensimmäisen ympyrän suhteen on $$(x - x_1)^2 + y^2 - r_1^2$$ ja toisen suhteen $$(x - x_2)^2 + y^2 - r_2^2.$$ Saadaan yhtälö $$(x - x_1)^2 + y^2 - r_1^2 = (x - x_2)^2 + y^2 - r_2^2.$$ Termit $y^2$ katoavat. Siirretään $-r_1^2$ oikealle ja $(x - x_2)^2$ vasemmalle: $$(x - x_1)^2 - (x - x_2)^2 = r_1^2 - r_2^2.$$ Kertomalla vasen puoli auki tämä sievenee muotoon $$2x(x_2 - x_1) + x_1^2 - x_2^2 = r_1^2 - r_2^2.$$ Tämä on ensimmäisen asteen yhtälö muuttujan $x$ suhteen (huomaa, että ympyröiden keski­pisteet eivät ole samat, joten $x_1 \neq x_2$), joten sillä on täsmälleen yksi ratkaisu.

Yllä oleva päättely osoittaa, että $P$ toteuttaa halutun ehdon täsmälleen silloin, kun sen $x$-koordinaatti on sopiva. Tämä tarkoittaa, että halutut pisteet ovat jonkin $y$-akselin suuntaisen suoran pisteet. Tämä todistaa lauseen pääväitteen ja kohdan (i). Kohta (ii) on selvä, koska leikkaus­pisteiden potenssit ympyröiden suhteen ovat nollia.

24.4 Kolmen ympyrän radikaali­akselit

Seuraava tulos on välillä hyödyllinen sen osoittamiseksi, että kolme suoraa leikkaavat samassa pisteessä.

Todistus. Olkoon $P$ suorien $\ell_{12}$ ja $\ell_{23}$ leikkaus­piste.¹ Nyt pisteen $P$ potenssit ympyröiden $\omega_1$ ja $\omega_2$ suhteen ovat sama, kuten myös ympyröiden $\omega_2$ ja $\omega_3$ suhteen. Täten $P$:n potenssit ympyröiden $\omega_1$ ja $\omega_3$ suhteen ovat samat, eli $P$ on suoralla $\ell_{23}$.

24.5 Esimerkki­tehtäviä

Ratkaisu. Piirretään $P$- ja $M$-keskiset ympyrät, joiden säde on $PA$, ja käytetään lausetta 24.2 näille kahdelle ympyrälle ja jänne­neli­kulmion $ABCD$ ympärys­ympyrälle. Nyt $P$- ja $M$-keskisten ympyröiden radikaali­akseli on janan $PM$ keski­normaali, $P$-keskisen ympyrän ja $ABCD$:n ympärys­ympyrän radikaali­akseli on $AB$ ja $M$-keskisen ympyrän ja $ABCD$:n ympärys­ympyrän radikaali­akseli on $CD$.

Kuviosta huomataan heti muutama ominaisuus: ympyrät näyttävät leikkaavan janalla $BC$ ja korkeus­jana (korkeus­suora) $CN$ leikkaa $AC$-halkaisijaista ympyrää janalla $AB$. Nämä ovat kuitenkin tuttuja juttuja: kaikki perustuu siihen, että kolmion kärjet ja korkeus­janojen kanta­pisteet antavat paljon jänne­neli­kulmiota.

Tehtävää voisi yrittää ratkaista puhtaasti kulmia jahtaamalla. Konfiguraatiosta nimittäin tiedetään aika paljon kulmia, joten tämä on houkutteleva vaihto­ehto. Tulosta ei kuitenkaan synny.

Kuvitellaan hetkeksi, että $NPMQ$ on jänne­neli­kulmio. Tällöin kuviossa on kolme ympyrää ja siten myös kolme radikaali­akselia, jotka leikkaavat samassa pisteessä. Mikä tämä piste on?

Niiden ympyröiden, joiden halkaisijat ovat $AB$ ja $AC$, radikaali­akseli on pisteestä $A$ piirretty korkeus­jana. Jos $NPMQ$ on jänne­neli­kulmio, sen ympärys­ympyrän ja $AB$-halkaisijaisen ympyrän radiaaliakseli on suora $MN$ eli kärjestä $C$ piirretty korkeus­jana. Viimeinen radikaali­akseli on $B$:stä piirretty korkeus­jana. Leikkaus­piste on siis kolmion $ABC$ ortokeskus.

Tämä ei ratkaise tehtävää, mutta antaa vihjeen siitä, mistä päin ratkaisua kannattaa etsiä. Lisätään kärjestä $A$ piirretty korkeus­jana ja ortokeskus kuvioon:

Nyt idea on seuraava: Jos $NPMQ$ on jänne­neli­kulmio, pisteen potenssilla $HM \cdot HN = HP \cdot HQ$. Osaamme kuitenkin todistaa tämän suoraan. Jos nimittäin $D$ on kärjestä $A$ piirretyn korkeus­janan kanta­piste (ei piirretty kuvaan), niin käyttämällä kahdesti pisteen potenssia kuvan kahdelle eri ympyrälle saadaan $$HN \cdot HM = HA \cdot HD = HP \cdot HQ.$$

Seuraako tästä, että $NPMQ$ on jänne­neli­kulmio? Eli toisin sanoen, voimmeko käyttää pisteen potenssia toiseen suuntaan? Kyllä vain: nyt pätee $$\frac{HN}{HP} = \frac{HQ}{HM},$$ joten kolmiot $HNP$ ja $HQM$ ovat yhden­muotoisia (sks). Täten muun muassa $\angle NPH = \angle HMQ$, mistä väite seuraa.

24.6 Tehtäviä

Tehtävä 1. Olkoon $ABC$ kolmio. Sovelletaan lausetta 24.2 niille ympyröille, joiden keski­pisteet ovat $A$, $B$ ja $C$ ja joiden säteet ovat nollia(!). Mitä tapahtuu?

Tehtävä 2. Olkoot $AD, BE$ ja $CF$ kolmion $ABC$ korkeus­janat. Sovelletaan lausetta 24.2 kolmioiden $ABD$, $BCE$ ja $CAF$ ympärys­ympyröille. Mitä tapahtuu?

Tehtävä 3. Olkoon $ABC$ kolmio. Olkoon $\omega_1$ se ympyrä, joka kulkee pisteen $A$ kautta ja joka sivuaa suoraa $BC$ pisteessä $B$. Olkoon $\omega_2$ se ympyrä, joka kulkee pisteen $A$ kautta ja joka sivuaa suoraa $BC$ pisteessä $C$. Olkoon $P$ ympyröiden $\omega_1$ ja $\omega_2$ se leikkaus­piste, joka ei ole $A$. Olkoon $M$ suorien $AP$ ja $BC$ leikkaus­piste. Osoita, että $M$ on janan $BC$ keski­piste.

Tehtävä 4. Olkoon $ABC$ kolmio. Piste $D$ valitaan sivulta $BC$. Kolmion $ABC$ ympärys­ympyrälle piirretään tangentti pisteeseen $A$ ja tangentilta valitaan piste $E$, jolla $DE$ ja $AB$ ovat yhden­suuntaisia. Jana $CE$ leikkaa kolmion $ABC$ ympärys­ympyrän pisteessä $F$. Oletetaan, että $BDFE$ on jänne­neli­kulmio. Osoita, että $AC$, $BF$ ja $DE$ leikkaavat samassa pisteessä.

Tehtävä 5. Olkoon $H$ terävä­kulmaisen kolmion $ABC$ ortokeskus. Ympyrä, jonka keski­piste on janan $BC$ keski­piste ja joka kulkee pisteen $H$ kautta, leikkaa janaa $BC$ pisteissä $A_1$ ja $A_2$. Pisteet $B_1, B_2, C_1$ ja $C_2$ määritellään vastaavasti. Osoita, että $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1$ ja $C_2$ ovat samalla ympyrällä.