Kyky jahdata kulmia on ehkäpä tärkein yksittäinen taito geometrian tehtävissä. Tästä syystä tässä tekstissä käsitellään erikseen tätä taitoa. Kilpailutehtävissä voi tietysti tarvita laajempaakin määrää työkaluja, mutta tämän tekstin tehtävät on valittu nimenomaan kulmanjahtausta silmällä pitäen.
Tekstissä ei sinänsä ole uutta teoriaa, mutta on muutama hyödyllinen idea, joita demonstroidaan kolmen esimerkin kautta.
20.2 Esimerkki 1
Tehtävä 20.1 Olkoon teräväkulmaisen kolmion ympärysympyrä. Leikatkoot ympyrän pisteisiin ja piirretyt tangentit pisteessä . Olkoon se piste suoralla , jolla . Osoita, että .
Kuva 1: Osoitetaan, että on tasakylkinen kolmio.
Ehto on luontevinta tulkita niin, että on tasakylkinen kolmio eli että kulmat ja ovat yhtä suuret. Voidaan ajatella, että kulma ”tiedetään”: se on kolmion kulma . Keskitytään siis kulman laskemiseen.
Kuva 2: Lasketaan .
Yksi idea on käyttää janojen ja yhdensuuntaisuutta ja saada . Kulmasta ei kuitenkaan tunnu pääsevän oikein eteenpäin. Mikä neuvoksi?
Haluamme jotenkin hyödyntää sitä, että on pisteisiin ja piirrettyjen tangenttien leikkauspiste, mutta tämän hyödyntäminen ei onnistu suoraan. Joka tapauksessa tätä kautta saa laskettua kehäkulmalauseen tangenttiversion avulla kulmia (esimerkiksi ). Alla olevaan kuvaan on merkitty kulmia, jotka osataan laskea.
Kuva 3: Merkityt kulmat ovat yhtä suuria.
Kulma on laskettu hyödyntämällä janojen ja yhdensuuntaisuutta.
Tästä huomataan, että , eli on jännenelikulmio! Tämän seurauksena kehäkulmalauseella saadaan laskettua , ja tästä edelleen yhdensuuntaisuudella .
Kuva 4: Jännenelikulmio antaa lisää kulmia.
Väite seuraa.
Kommentti. Tehtävä koostuu kahdesta askeleesta: ensiksi todistetaan, että on jännenelikulmio, ja sitten lasketaan halutut kulmat. On tärkeä taito löytää kuvioista jännenelikulmioita, ja yleisesti oikeiden huomioiden/väitteiden tekeminen kuviosta on tärkeää. Tehtävien vaikeutuessa tulee tehdä useampia ja vaikeampia huomioita (tarvittavien askelien määrä onkin yksi tapa mitata, kuinka vaikea tehtävä on).
Tästä syystä on hyödyllistä tutkiskella kuviota erikseen ja yrittää keksiä, onko siinä jotakin erikoista: näyttävätkö jotkin neljä pistettä olevan samalla ympyrällä tai jotkin kolme pistettä olevan samalla suoralla, leikkaavatko jotkin kolme suoraa samassa pisteessä, ovatko jotkin kaksi kulmaa yhtä suuria tai jotkin kaksi janaa yhtä pitkiä, onko tuo kulma astetta, onko tuo suora itse asiassa tangentti tuolle ympyrälle…
Huomioiden keksimistä varten voi välillä hetkellisesti olettaa tehtävänannon väitteen pätevän ja yrittää siitä johtaa muita väitteitä (esimerkiksi ”jos tehtävänannon väite pätee, niin on jännenelikulmio”). Usein päättelyn voi tällöin vetää myös toiseen suuntaan (”jos on jännenelikulmio, niin tehtävänannon väite pätee”), mikä voi antaa edistystä. Tätä ideaa hyödynnetään alla esimerkissä 3.
20.3 Esimerkki 2
Tehtävä 20.2 Olkoot ja sellaisia pisteitä kolmion ympärysympyrällä, että ja . Olkoot ja kolmion kärjistä ja piirrettyjen korkeusjanojen kantapisteet. Osoita, että ja ovat yhdensuuntaisia.
Kuva 5: Kolme yhdensuuntaista suoraa
Tehtävä koostuu kahdesta väitteestä: osoita, että ja ovat yhdensuuntaisia, ja osoita, että ja ovat yhdensuuntaisia. Keskitytään väitteisiin yksi kerrallaan.
Suorien ja yhdensuuntaisuutta koskeva väite ei koske pisteitä ja , joten ne voidaan unohtaa. Voimme oikeastaan unohtaa myös kolmion : oleellista on vain se, että erään ympyrän kehällä on viisi pistettä ja , joiden välisistä kaarien pituuksista tiedämme jotakin ( ja ).
Kuva 6: Kuva, josta on poistettu kaikki turha.
Tiedämme siis, että kaaret ja ovat keskenään yhtä pitkiä, kuten ovat myös ja . Vähennyslaskulla seuraa, että kaaret ja ovat yhtä pitkiä. Väite seuraa tästä: näitä kaaria vastaavat kehäkulmat ovat täten myös yhtä pitkiä, joten , eli ja ovat (samankohtaisten kulmien nojalla) yhdensuuntaiset.
Tutkitaan sitten suorien ja yhdensuuntaisuutta. Tässä vaiheessa voimme unohtaa pisteen .
Kuva 7: Yksinkertaistetaan kuvaa poistamalla .
Tämäkään osaongelma ei ole vaikea: Tiedämme, missä kulmassa on, koska kolmiota ja sen korkeusjanoja koskevasta kuviosta pystymme laskemaan kaikki kulmat. Tiedämme myös, ”missä” on. Osaamme nimittäin laskea esimerkiksi kulman : pätee koska vastaa kaarta , jonka pituus on sama kuin kaaren , joka vastaa kulmaa .
Siis on kulmassa suoraan nähden. Voimme viimeistellä ratkaisun laskemalla, kuinka suuressa kulmassa on suoraan nähden. Täydennetään tätä varten kuvaan suorien ja leikkauspiste.
Kuva 8: Lisätään uusi piste ja poistetaan tarpeettomaksi muuttunut .
Tavoitteena on laskea . Tämä onnistuu esimerkiksi kolmiosta : yksi kolmion kulmista on , ja jännenelikulmion nojalla toinen on . Tästä seuraa, että .
Siis ja ovat samassa kulmassa suoraan nähden (eli ), joten ne ovat yhdensuuntaiset.
Ensinnäkin kannattaa jakaa tehtävä palasiin ja kuvia piirtäessä keskittää huomiota oleellisiin osiin. On miltei aina hyvä, jos voi muotoilla tehtävän uudelleen niin, ettei joitakin aiemmin esiintyneitä pisteitä enää tarvita: tehtävä on nyt yksinkertaisempi. Tämä kannattaa ottaa myös kuvien piirtämisessä huomioon. On helpompi nähdä seuraava askel, kun kuviossa on vähemmän pisteitä, suoria ja ympyröitä.
Toiseksi on joskus hyödyllistä miettiä kulmia ympyrän kaarien pituuksien kautta. Tämä idea soveltuu erityisesti sellaisissa tilanteissa, joissa saman ympyrän kehällä on monta pistettä. Hyöty on siinä, että pisteiden muodostamia kulmia on hyvin monta1 ja niitä on siten vaikea hahmottaa, kun taas ympyrän kaaria on helppo käsitellä.
Kolmannekseen suorien yhdensuuntaisuutta voi miettiä sitä kautta, missä kulmassa suorat ovat kuvassa. Kyse on vain samankohtaisista kulmista, mutta hieman eri näkökulmasta tutkittuna.Tätä kautta voi esimerkiksi helpommin keksiä lisätä pisteen kuvaan 8 (verrattuna jos yrittäisi suoraan soveltaa samankohtaisia kulmia kuvan 7 tilanteeseen, jolloin voisi päätyä tutkimaan vaikkapa ehtoa ).
Näillä kolmella idealla on yhteinen teema: kukin koskee sitä, mihin kuviossa kiinnittää huomiota ja miten sitä hahmottaa. Esimerkkitehtävä on melko helppo, joten ideat eivät ole välttämättömiä tehtävän ratkaisemiseksi, mutta tämä on sivuseikka. Geometriassa on hyödyllistä kyetä katsomaan kuviota monella eri tavalla, jolloin saa monenlaisia ideoita tehtävän ratkaisemiseksi.
1 Esimerkiksi jos pisteitä on kuusi, niin niiden välisiä kulmia on kappaletta, kun taas ympyrän kaaren pätkiä on laskentatavasta riippuen vain tai .
20.4 Esimerkki 3
Seuraava tehtävä on jatkoa esimerkin 2 tehtävälle.
Tehtävä 20.3 Olkoot ja sellaisia pisteitä kolmion ympärysympyrällä, että ja . Olkoot ja kolmion kärjistä ja piirrettyjen korkeusjanojen kantapisteet. Olkoon suorien ja leikkauspiste. Osoita, että on kolmion ympärysympyrällä.
Kuva 9: Osoitetaan, että on kolmion ympärysympyrällä.
On monia tapoja uudelleenmuotoilla väite kulmaehtojen avulla: on kolmion ympärysympyrällä, jos esimerkiksi on jännenelikulmio eli jos .
Kulman saa kyllä laskettua. Kuten edellisessä esimerkissä (kuva 6), kannattaa kiinnittää huomio kolmion ympärysympyrän kehälle ja miettiä kulmia kaarien kautta. Koska kaaret ja ovat edellisen ratkaisun nojalla yhtä pitkiä, pätee
Täten jäljelle jää osoittaa, että . Tämä ehto on luontevaa tulkita niin, että on jännenelikulmio(!). Saamme siis valinnanvaraa siihen, minkä kulmaehdon todistamme: nyt riittäisi osoittaa esimerkiksi .
Kuva 10: Riittää osoittaa, että .
Tämän kulmaehdon voi (ristikulmien avulla) muotoilla ilman pistettä muodossa . Tämä on näennäisesti edistystä: :hän oli kuvion ”vaikein” piste. Huomataan kuitenkin, että esimerkiksi kulmaa on vaikea laskea. Voi ajatella, että syynä on vaikea jana , joka yhdistää kaksi ”toisiinsa liittymätöntä” pistettä ja .
Esitettävä ratkaisu meneekin siis toiseen suuntaan. Idea on: määritellään piste uudelleen. Tarkemmin sanoen tutkitaan seuraavaa ongelmaa.
Tehtävä. Olkoot ja sellaisia pisteitä kolmion ympärysympyrällä, että ja . Olkoot ja kolmion kärjistä ja piirrettyjen korkeusjanojen kantapisteet. Olkoon kolmion ympärysympyrän leikkauspiste kolmion ympärysympyrän kanssa. Osoita, että ja ovat samalla suoralla ja että ja ovat samalla suoralla.
Kuva 11: Tehtävän uudelleenmuotoilu pisteen avulla.
Huomataan, että jos saamme todistettua yllä olevan väitteen, niin siitä seuraa, että ja ovat yksi ja sama piste: molemmat nimittäin ovat suorien ja leikkauspiste. Ja koska on kolmion ympärysympyrällä, niin myös on.
Voimme siis hyvin tutkia tehtävän uudelleenmuotoilua ja kuvaa 11. Yritetään siis todistaa, että ja ovat samalla suoralla (pisteet ja käsitellään samaan tapaan). Suunnitelma on osoittaa, että ja ovat yhtä suuria. Molemmat näistä kulmista ovat helposti laskettavissa, ja tehtävä ratkeaa.
Kuva 12: Lasketaan ensin .
Kulman saa laskettua hyödyntämällä ensiksi jännenelikulmiota . Saadaan . Kulma on tuttu kolmion korkeusjanoja koskevista konfiguraatioista ja se saadaan laskettua esimerkiksi hyödyntämällä jännenelikulmiota . Tulos on
Kuva 13: Lasketaan sitten .
Kulma vastaa kolmion ympärysympyrän kaarta . Koska , se vastaa yhtä suurta kulmaa kuin kaari , joka taas vastaa kulmaa . Siis
Eli kaiken kaikkiaan ja ovat samalla suoralla. Vastaavasti ja ovat samalla suoralla. Täten on sama piste kuin , eli on kolmion ympärysympyrällä.
Kommentti. Ratkaisun pääidea oli määritellä piste uudelleen ja tutkia tehtävän uudelleenmuotoilua pisteen kautta. Pointtina on, että tehtävän piste toteuttaa neljä eri ehtoa (se on suorilla ja sekä kolmioiden ja ympärysympyröillä), ja jo mitkä tahansa kaksi näistä ehdoista määräävät pisteen yksikäsitteisesti.
Tämän vuoksi riittää osoittaa, että esimerkiksi kolmioiden ja ympärysympyröiden leikkauspisteellä on loput kaksi ominaisuutta. (Muitakin vaihtoehtoja on: piste voitaisiin määritellä esimerkiksi suoran ja kolmion ympärysympyrän leikkauspisteenä). Kannattaa valita näistä ominaisuuksista ne kaksi, joiden avulla loput kaksi ovat helpoimpia todistaa. Tässä tehtävässä ympärysympyröiden leikkauspisteen kautta määrittely sopii hyvin, koska tätä kautta saamme jännenelikulmioita ja siten laskettua kulmia.
Ratkaisun alkupuolella puhuttiin myös ”vaikeista” pisteistä ja janoista. Tällainen ajattelu auttaa kartoittamaan, mitkä ovat tehtävän vaikeat kohdat. Esimerkiksi ratkaisun alussa kulman laskemisen voisi kuvitella onnistuvan, koska ja ovat kaikki ”helppoja” pisteitä. Sen sijaan kulman laskeminen on vaikeampaa, koska on vaikea piste.
Mitkä pisteet sitten ovat helppoja ja mitkä vaikeita? Tämä on tietysti tehtäväkohtaista, mutta joitain ajatuksia:
Jos piste määritellään pisteen (tai pisteiden ) avulla, niin on varmaankin vähintään yhtä vaikea kuin : pistettä pitää ymmärtää, jotta voi ymmärtää pistettä .
Piste on helpompi, jos se sijaitsee jonkin mukavan ympyrän kehällä tai jollakin kätevällä suoralla.
Janan/suoran vaikeuteen vaikuttaa pisteiden ja vaikeudet.
Jana on helpompi, jos se on jonkin mukavan ympyrän jänne.
20.5 Tehtäviä
Aiempien tekstien tehtäviin poiketen alla ei ole piirrettynä tehtäviä vastaavia kuvia. Kisatilanteessa tulee nimittäin saada tehtävät ratkaistua, vaikka täydellisen tietokonegeneroidun kuvan sijasta käytössä on vain epätarkka paperille piirretty kuva. Epätarkoista kuvista on vaikeampi tehdä oikeita huomioita, joten tätä kannattaa harjoitella.
Tehtävä 1. Olkoot ja ympyröiden ja keskipisteet ja olkoot ja ympyröiden leikkauspisteet. Leikatkoon kolmion ympärysympyrä ympyrää pisteessä ja ympyrää pisteessä . Oletetaan, että on kolmion sisällä. Osoita, että on kolmion sisäympyrän keskipiste.
Tehtävä 2. Kolmion sisäympyrän keskipiste on , ja sisäympyrä sivuaa sivuja ja pisteissä ja . Olkoon suorien ja leikkauspiste. Osoita, että .
Tehtävä 3. Olkoon teräväkulmainen kolmio. Ympyrä, jonka säde on ja keskipiste , leikkaa kolmion ympärysympyrää pisteessä ja suoraa pisteessä . Suora leikkaa kolmion ympärysympyrää pisteessä . Piste on sellainen janan piste, että . Osoita, että ja ovat saman ympyrän kehällä.
Tehtävä 4. Olkoon kolmion kärkeä vastaava sivuympyrä (eli on se ympyrä, joka on tangentti sivulle ja janojen ja jatkeille). Olkoon ympyrän keskipiste, ja olkoot pisteet ja ympyrän sivuamispisteet janojen ja jatkeiden kanssa. Olkoon janojen ja leikkauspiste. Osoita, että .
Tehtävä 5. Olkoon teräväkulmaisen kolmion korkeusjana, ja olkoon kolmion ympärysympyrän keskipiste. Suoran kanssa yhdensuuntainen suora kulkee pisteen kautta ja leikkaa suoran pisteessä . Osoita, että ja janojen ja keskipisteet ovat samalla suoralla.
Tehtävä 6. Pisteet ja ovat ympyrän kehällä. Pisteet ja ovat kolmioiden ja sisäympyröiden keskipisteet. Osoita, että on suorakulmio.
Tehtävä 7. Olkoon kolmio. Ympyrä kulkee pisteen kautta, leikkaa janat ja uudestaan pisteissä ja ja leikkaa janan pisteissä ja , missä on pisteiden ja välissä. Kolmion ympärysympyrän pisteeseen piirretty tangentti ja kolmion ympärysympyrän pisteeseen piirretty tangentti leikkaavat pisteessä . Oletetaan, että ja eivät ole sama piste. Osoita, että suora on yhdensuuntainen suoran kanssa.
