Geometrian tehtävissä on tiettyjä usein toistuvia kuvioita. Esimerkiksi monen tehtävän pohjalla on kolmio ja sen sisäympyrä, ympärysympyrä tai korkeusjanoja. Yleisimmät konfiguraatiot kannattaa siis tuntea hyvin.
Joitakin konfiguraatioita on käsitelty jo aiemmissa teksteissä suoraan tai tehtävissä. Ehkäpä tärkeimmät tiedot ovat, että kolmiolla on ympärysympyrä (jonka keskipiste on sivujen keskinormaalien leikkauspiste) ja sisäympyrä (jonka keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspiste) ja että kolmion korkeusjanat leikkaavat samassa pisteessä. Lisäksi näillä kuvioilla on tiettyjä ominaisuuksia: esimerkiksi korkeusjanakuviosta löytyy paljon jännenelikulmioita.
Tässä tekstissä käsitellään lisää konfiguraatioita. Jotkin näistä, kuten kehäkulmalauseen tangenttiversio ja sisäympyrän ominaisuudet, ovat hyvin käyttökelpoisia jo kansallisen tason tehtävissä. Jotkut esiintyvät sellaisenaan vasta kansainvälisellä tasolla, mutta konfiguraatiot toimivat silti hyvinä harjoitustehtävinä.
Käytämme tässä tekstissä (ja myöhemminkin) lyhennysmerkintää kolmion kärjen kulmalle. Vastaavasti merkitään ja .
14.2 Kehäkulmalauseen tangenttiversio
Eräitä tapauksia kehäkulmalauseesta.
Kehäkulmalauseen nojalla tiedämme, että samaa jännettä vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria, eli yllä olevassa kuvassa . Kun pisteet lähestyvät pistettä , kulma alkaa näyttää enemmän ja enemmän jänteen ja pisteeseen piirretyn ympyrän tangentin väliseltä kulmalta.
Kulmat todella ovat yhtä suuria. Tätä kutsutaan kehäkulmalauseen tangenttiversioksi.
Lause 14.1 (Kehäkulmalauseen tangenttiversio) Olkoon kolmio ja olkoon piste, joka on eri puolella suoraa kuin piste ja jolla on tangentti kolmion ympärysympyrälle. Tällöin .
Väite on yllä olevan perustelun nojalla uskottava, mutta tässä on väitteelle myös kunnollinen todistus.
Kolmion ympärysympyrä ja tangentti .
Kehäkulmalauseen nojalla , joten tasakylkisestä kolmiosta saadaan . On tuttu juttu, että pisteeseen piirretty säde ja tangentti ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli . Täten
Kulmat merkittynä kuvioon.
Mainitaan vielä seuraava tulos:
Lause 14.2 (Kehäkulmalauseen tangenttiversion toinen suunta) Olkoon kolmio ja olkoon sellainen piste eri puolella suoraa kuin piste , että . Tällöin on tangentti kolmion ympärysympyrälle.
Väite seuraa yksikäsitteisyysargumentilla edellisestä tuloksesta samaan tapaan kuin kehäkulmalauseen toinen puoli saadaan kehäkulmalauseesta. Yksityiskohdat lyhyesti: Olkoon lauseen mukainen piste. Valitaan piste tangentilta ja käytetään edellistä tulosta, jolloin saadaan Täten ja ovat samalla suoralla, eli on halutulla tangentilla.
14.3 Sisäympyrä
Tutkitaan kolmiota , sen sisäympyrää ja ympyrän sivuamispisteitä kolmion sivujen kanssa.
Kuva 14.1: Kolmion sisäympyrä ja sivuamispisteitä.
Kuviosta löytyy jännenelikulmioita: ja symmetrisesti ja . Muutenkin kulmia osataan laskea kohtuullisen hyvin: pätee esimerkiksi ja . (Todistukset jätetään tehtäväksi 1.)
Tässä on pari hieman vaikeampaa huomiota.
Apulause 14.1 Jos on kolmion pinta-ala ja on sisäympyrän säde, niin
Todistuksen idea on hauska. Toisaalta kolmion pinta-ala on määritelmän nojalla . Toisaalta pinta-ala voidaan laskea kolmioiden ja pinta-alojen summana. Kolmion pinta-ala on kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella eli . Samaan tapaan saadaan kahden muun pikkukolmion pinta-alat. Summaamalla saadaan lemman tulos.
Apulause 14.2 Pätee
Siis pituus osataan laskea. Vastaavasti myös pituudet ja osataan laskea.
Todistusta varten huomataan ensin, että ja ovat samasta pisteestä piirrettyjä tangentteja ympyrälle, joten ne ovat yhtä pitkiä.1 Merkitään , ja . Ideana on pystyttää yhtälöryhmä luvuille ja .
1 Tarkka perustelu: Kulmat ja ovat suoria ja . Täten kolmiot ja ovat suorakulmaisia kolmioita, joiden yhdet kateetit ja hypotenuusat ovat yhtä pitkiä, joten myös toiset kateetit ovat yhtä pitkiä.
Tutkimalla kuviota luvuille ja saadaan yhtälöt ja Loppu onkin algebrallista manipulaatiota. Summataan ensimmäinen ja kolmas yhtälö ja vähennetään tuloksesta keskimmäinen yhtälö. Saadaan mistä sieventämällä saadaan haluttu tulos.
14.4 Sivuympyrät
Palautetaan mieleen seuraava konfiguraatio yhdestä aiemmasta tehtävästä: jos on kolmion ympärysympyrän kaaren keskipiste, niin on suoralla ja on yhtä kaukana pisteistä ja (missä on kolmion sisäympyrän keskipiste).
on kolmion ympärysympyrän keskipiste.
Jatketaan suoraa pisteen yli kolmion ympärysympyrälle:
Tutkitaan pistettä .
Nyt on ympyrän halkaisija, joten on suora kulma. Koska , niin . Tämä tarkoittaa, että on kulman vieruskulman puolittaja: jos jatkamme janaa pisteen yli johonkin pisteeseen , niin puolittaa kulman .
Tästä seuraa, että on yhtä kaukana suorista ja . Vastaavasti on yhtä kaukana suorista ja janan jatkeesta. Voidaan siis piirtää -keskinen ympyrä, joka sivuaa näitä suoria. Tätä ympyrää kutsutaan kolmion (kärjen vastaiseksi) sivuympyräksi.
Piste on kärjen vastaisen sivuympyrän keskipiste.
Kerätään tulokset seuraavaan lauseeseen.
Lause 14.3 (Sivuympyröiden peruslause) Olkoon kolmio, sen sisäympyrän keskipiste ja kolmion ympärysympyrän kaaren keskipiste. Olkoon pisteen peilaus pisteen yli. Tällöin
on kolmion kärjen vastaisen sivuympyrän keskipiste
on jännenelikulmio, jossa kulmat ja ovat suoria
puolittaa kulman vieruskulman.
14.5 Tehtäviä
Tehtävä 1. Osoita, että kuvan 14.1 tilanteessa on jännenelikulmio, että ja että .
Tehtävä 2. Nelikulmiolla on sisäympyrä (eli nelikulmion sisällä oleva ympyrä, joka sivuaa kaikkia nelikulmion sivuja). Osoita, että .
Tehtävä 2.
(Voidaan myös osoittaa, että jos konveksilla2 nelikulmiolla pätee , niin sillä on sisäympyrä.)
2 Monikulmiota kutsutaan konveksiksi, jos sen kaikki kulmat ovat alle astetta.
Tehtävä 3. Janat ja ovat kolmion korkeusjanoja. Piste on janan keskipiste.
Osoita, että , ja .
Osoita, että janat ja ovat tangentteja kolmion ympärysympyrälle.
Tehtävä 3.
Tehtävä 4. Olkoon kolmio, jonka korkeusjanat ja leikkaavat pisteessä .
Olkoon janan keskipiste. Osoita, että on jännenelikulmio.
Olkoon janan keskipiste. Osoita, että on jännenelikulmio.
Tehtävä 4.
(Vastaavasti myös janojen , , ja keskipisteet ovat kolmion ympärysympyrällä. Tällä ympyrällä on siis peräti yhdeksän ”tärkeää” pistettä: ja , janojen ja keskipisteet ja janojen ja keskipisteet. Ympyrää kutsutaankin kolmion yhdeksän pisteen ympyräksi.)
Tehtävä 5. Kolmion ympärysympyrällä on piste . Pisteet ja ovat pisteestä suorille ja piirrettyjen korkeusjanojen kannat. Osoita, että ja ovat samalla suoralla.
