6  Jännenelikulmiot

6.2 Kehäkulmalauseen toinen suunta

Seuraavassa kuvassa on pisteet $$ ja $$. Tiedetään, että kulmat $$ ja $$ ovat yhtä suuria.

Tilanne muistuttaa vahvasti kehäkulmalausetta, jossa saatiin vastaavanlainen kulmaehto siinä tilanteessa, että pisteet ovat saman ympyrän kehällä. On siis luontevaa kysyä: ovatko yllä olevan kuvan pisteet välttämättä saman ympyrän kehällä?

Vastaus on myönteinen. Tämä on tämän luvun pääaihe.

Tulos on kätevä: Jos tiedämme yhden kulmaehdon ($$), seuraa tästä, että pisteet ovat samalla ympyrällä. Tällöin pääsemme käyttämään kehäkulmalausetta, ja saamme paljon lisää kulmaehtoja (esimerkiksi $$ ja $$). Saamme siis monta kulmaehtoa yhden hinnalla!

Lauseen todistusta varten tarvitsemme hieman valmistelua.

6.3 Ympyrä kolmen pisteen kautta

Ennen kuin mietitään, milloin neljän pisteen kautta voidaan piirtää ympyrä, on luontevaa miettiä kolmen pisteen tapausta. Milloin kolmen pisteen kautta voidaan piirtää ympyrä?

Vastaus: aina, kunhan pisteet eivät ole samalla suoralla.

Kolme pistettä määräävät siis yksikäsitteisen ympyrän. Neljällä pisteellä väite ei enää päde: on poikkeuksellista, että neljä pistettä sattuvat olemaan samalla ympyrällä. Tämä tekee kehäkulmalauseen toisesta suunnasta mielenkiintoisen.

Lähdetään todistamaan väitettä. Tutkitaan siis joitakin kolmea pistettä.

Mihin ympyrän keskipiste tulee laittaa? Keskipisteen tulee olla sellaisessa kohdassa, jossa se on yhtä kaukana kustakin annetusta pisteestä. Ei ole selvää, miksi tällainen kohta on olemassa tai missä se on.

Tutkitaan helpompaa tapausta eli kahta pistettä. Missä ovat ne pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pisteistä $$ ja $$? Ainakin janan $$ keskipiste on tällainen piste. Miettimällä hieman huomataan, että sopivat pisteet sijaitsevat janan $$ keskinormaalilla¹ ja että kaikki janan $$ keskinormaalilla olevat pisteet ovat yhtä kaukana pisteistä $$ ja $$:

Entä missä ovat ne pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pisteistä $$ ja $$? Nämä ovat vastaavasti janan $$ keskinormaalin pisteet:

Nämä keskinormaalit leikkaavat jossakin pisteessä.² Tämä piste kelpaa: Leikkauspiste on $$:n keskinormaalilla, joten se on yhtä kaukana pisteistä $$ ja $$, ja koska se on $$:n keskinormaalilla, se on yhtä kaukana pisteistä $$ ja $$. Täten se on yhtä kaukana kaikista pisteistä $$ ja $$. Voimme siis piirtää ympyrän, jonka keskipiste on tämä leikkauspiste ja joka kulkee pisteiden $$ ja $$ kautta.

Perustelusta nähdään myös, ettei tällaisia ympyröitä ole useampia.

Ympyrää kutsutaan kolmion $$ ympärysympyräksi tai ympäri piirretyksi ympyräksi.

6.4 Kehäkulmalauseen toisen suunnan todistus

Tutkitaan jälleen seuraavan kuvan tilannetta. Haluamme osoittaa, että $$ ja $$ ovat samalla ympyrällä.

Piirretään ympyrä pisteiden $$ ja $$ kautta. Edellisen osion päättelyn nojalla tiedämme, että tämä on mahdollista. Yritetään perustella, että myös $$ on tällä ympyrällä.

Miltä tilanne näyttäisi, jos $$ ei olisi tällä ympyrällä? Jos $$ on ympyrän ulkopuolella, näyttää tilanne tältä:

Piirretään kuvaan janan $$ leikkauspiste ympyrän kanssa. Olkoon tämä leikkauspiste $$.

Huomataan, että kehäkulmalauseen nojalla $$, joka puolestaan on sama kuin kulma $$. Nyt kolmiossa $$ kulmien $$ ja $$ summa on $$, eli kolmas kulma $$ on nolla astetta. Tämä tilanne on mahdoton, joten $$ ei voi olla ympyrän ulkopuolella.

Vastaavalla päättelyllä todetaan, että $$ ei voi olla ympyrän sisäpuolella. (Yksityiskohtia ei käydä läpi tässä.) Siis $$ on ympyrän kehällä, ja todistus on valmis.

6.5 Vastakkaiset kulmat

Kuten kehäkulmalauseessa, voidaan nytkin miettiä tilannetta, jossa $$ ja $$ ovat eri puolilla janaa $$. Voisi kuvitella, että myös tässä tapauksessa kehäkulmalausetta voi soveltaa toiseen suuntaan: jos kulmien summa on $$ astetta, niin sitten pisteet ovat saman ympyrän kehällä.

Todistus on käytännössä sama kuin tapauksessa, jossa $$ ja $$ ovat samalla puolella janaa $$. Tämän vuoksi alla esitetään vain tiivis kuvaus todistuksen kulusta.

Piirretään ympyrä pisteiden $$ ja $$ kautta. Piste $$ ei voi olla tämän ympyrän ulkopuolella, koska muuten tutkimalla janan $$ ja ympyrän leikkauspistettä ja käyttämällä kehäkulmalauseen versiota vastakkaisille kulmille saataisiin kolmio, jossa on nollan asteen kulma. Vastaavalla päättelyllä $$ ei voi olla ympyrän sisäpuolella. Täten $$ on ympyrän kehällä.

6.6 Tehtäviä

Kehäkulmalause-teksti ja tämä teksti muodostavat yhtenäisen kokonaisuuden, joka kertoo, miten ympyrät ja kulmaehdot liittyvät toisiinsa. Tietyt kulmaehdot toteutuvat täsmälleen silloin, kun pisteet ovat samalla ympyrällä.

Tämä aihe on vahvasti läsnä alla olevissa tehtävissä. Lisäksi tehtävät toimivat harjoituksena kulmien laskemiselle.

Tehtävä 1. Kuvassa on nelikulmio $$. Tiedetään, että $$, $$ ja $$. Kuinka suuri on kulma $$?

Tehtävä 2. Kuvassa on kolmio $$ ja korkeusjanat $$, $$ ja $$. Korkeusjanat leikkaavat pisteessä $$ (kuten todistettiin Kehäkulmalause-tekstin tehtävässä 7). Kuviossa on peräti kuusi jännenelikulmiota. Mitkä ne ovat?

Tehtävä 3. Jatketaan edellisen tehtävän kuviosta. Osoita, että $$ on kolmion $$ kulmanpuolittajien leikkauspiste. Toisin sanoen osoita, että jana $$ puolittaa kulman $$ (ja vastaavasti symmetriset tapaukset).

Tehtävä 4. Kolmion $$ sivulla $$ on piste $$, sivulla $$ piste $$ ja sivulla $$ piste $$. Olkoon $$ kolmioiden $$ ja $$ ympärysympyröiden leikkauspisteistä se, joka ei ole $$. Osoita, että pisteet $$ ja $$ ovat samalla ympyrällä.

(Toisin sanoen kolmioiden $$, $$ ja $$ ympärysympyrät leikkaavat samassa pisteessä $$.)

Tehtävä 5. Tekstissä osoitettiin, että mille tahansa kolmiolle $$ on olemassa (tasan yksi) ympyrä, joka kulkee kunkin pisteen $$ ja $$ kautta. Tämä tehtiin tutkimalla pisteiden välisten janojen keskinormaaleja.

Muuntele todistuksen ideoita ja osoita, että mille tahansa kolmiolle $$ on olemassa (tasan yksi) ympyrä, joka sivuaa kutakin janoista $$ ja $$.

(Tätä ympyrää kutsutaan kolmion $$ sisäympyräksi tai sisään piirretyksi ympyräksi. Se on suurin ympyrä, joka mahtuu kolmion $$ sisään.)