6  Jänne­neli­kulmiot

6.2 Kehä­kulma­lauseen toinen suunta

Seuraavassa kuvassa on pisteet $A, B, X$ ja $Y$. Tiedetään, että kulmat $\angle AXB$ ja $\angle AYB$ ovat yhtä suuria.

Tilanne muistuttaa vahvasti kehä­kulma­lausetta, jossa saatiin vastaavanlainen kulma­ehto siinä tilanteessa, että pisteet ovat saman ympyrän kehällä. On siis luontevaa kysyä: ovatko yllä olevan kuvan pisteet välttämättä saman ympyrän kehällä?

Vastaus on myönteinen. Tämä on tämän luvun pääaihe.

Tulos on kätevä: Jos tiedämme yhden kulma­ehdon ($\angle AXB = \angle AYB$), seuraa tästä, että pisteet ovat samalla ympyrällä. Tällöin pääsemme käyttämään kehä­kulma­lausetta, ja saamme paljon lisää kulma­ehtoja (esimerkiksi $\angle XBA = \angle XYA$ ja $\angle BAX + \angle XYB = 180^{\circ}$). Saamme siis monta kulma­ehtoa yhden hinnalla!

Lauseen todistusta varten tarvitsemme hieman valmistelua.

6.3 Ympyrä kolmen pisteen kautta

Ennen kuin mietitään, milloin neljän pisteen kautta voidaan piirtää ympyrä, on luontevaa miettiä kolmen pisteen tapausta. Milloin kolmen pisteen kautta voidaan piirtää ympyrä?

Vastaus: aina, kunhan pisteet eivät ole samalla suoralla.

Kolme pistettä määräävät siis yksi­käsitteisen ympyrän. Neljällä pisteellä väite ei enää päde: on poikkeuksellista, että neljä pistettä sattuvat olemaan samalla ympyrällä. Tämä tekee kehä­kulma­lauseen toisesta suunnasta mielen­kiintoisen.

Lähdetään todistamaan väitettä. Tutkitaan siis joitakin kolmea pistettä.

Mihin ympyrän keski­piste tulee laittaa? Keski­pisteen tulee olla sellaisessa kohdassa, jossa se on yhtä kaukana kustakin annetusta pisteestä. Ei ole selvää, miksi tällainen kohta on olemassa tai missä se on.

Tutkitaan helpompaa tapausta eli kahta pistettä. Missä ovat ne pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pisteistä $B$ ja $C$? Ainakin janan $BC$ keski­piste on tällainen piste. Miettimällä hieman huomataan, että sopivat pisteet sijaitsevat janan $BC$ keski­normaalilla¹ ja että kaikki janan $BC$ keski­normaalilla olevat pisteet ovat yhtä kaukana pisteistä $B$ ja $C$:

Entä missä ovat ne pisteet, jotka ovat yhtä kaukana pisteistä $A$ ja $B$? Nämä ovat vastaavasti janan $AB$ keski­normaalin pisteet:

Nämä keski­normaalit leikkaavat jossakin pisteessä.² Tämä piste kelpaa: Leikkaus­piste on $BC$:n keski­normaalilla, joten se on yhtä kaukana pisteistä $B$ ja $C$, ja koska se on $AB$:n keski­normaalilla, se on yhtä kaukana pisteistä $A$ ja $B$. Täten se on yhtä kaukana kaikista pisteistä $A, B$ ja $C$. Voimme siis piirtää ympyrän, jonka keski­piste on tämä leikkaus­piste ja joka kulkee pisteiden $A, B$ ja $C$ kautta.

Perustelusta nähdään myös, ettei tällaisia ympyröitä ole useampia.

Ympyrää kutsutaan kolmion $ABC$ ympärys­ympyräksi tai ympäri piirretyksi ympyräksi.

6.4 Kehä­kulma­lauseen toisen suunnan todistus

Tutkitaan jälleen seuraavan kuvan tilannetta. Haluamme osoittaa, että $A, B, X$ ja $Y$ ovat samalla ympyrällä.

Piirretään ympyrä pisteiden $A, B$ ja $X$ kautta. Edellisen osion päättelyn nojalla tiedämme, että tämä on mahdollista. Yritetään perustella, että myös $Y$ on tällä ympyrällä.

Miltä tilanne näyttäisi, jos $Y$ ei olisi tällä ympyrällä? Jos $Y$ on ympyrän ulko­puolella, näyttää tilanne tältä:

Piirretään kuvaan janan $BY$ leikkaus­piste ympyrän kanssa. Olkoon tämä leikkaus­piste $Y'$.

Huomataan, että kehä­kulma­lauseen nojalla $\angle AY'B = \angle AXB$, joka puolestaan on sama kuin kulma $\angle AYB$. Nyt kolmiossa $AYY'$ kulmien $\angle AYY'$ ja $\angle YY'A$ summa on $180^{\circ}$, eli kolmas kulma $\angle Y'AY$ on nolla astetta. Tämä tilanne on mahdoton, joten $Y$ ei voi olla ympyrän ulko­puolella.

Vastaavalla päättelyllä todetaan, että $Y$ ei voi olla ympyrän sisä­puolella. (Yksityis­kohtia ei käydä läpi tässä.) Siis $Y$ on ympyrän kehällä, ja todistus on valmis.

6.5 Vastakkaiset kulmat

Kuten kehä­kulma­lauseessa, voidaan nytkin miettiä tilannetta, jossa $X$ ja $Y$ ovat eri puolilla janaa $AB$. Voisi kuvitella, että myös tässä tapauksessa kehä­kulma­lausetta voi soveltaa toiseen suuntaan: jos kulmien summa on $180$ astetta, niin sitten pisteet ovat saman ympyrän kehällä.

Todistus on käytännössä sama kuin tapauksessa, jossa $X$ ja $Y$ ovat samalla puolella janaa $AB$. Tämän vuoksi alla esitetään vain tiivis kuvaus todistuksen kulusta.

Piirretään ympyrä pisteiden $A, X$ ja $B$ kautta. Piste $Y$ ei voi olla tämän ympyrän ulko­puolella, koska muuten tutkimalla janan $BY$ ja ympyrän leikkaus­pistettä ja käyttämällä kehä­kulma­lauseen versiota vastakkaisille kulmille saataisiin kolmio, jossa on nollan asteen kulma. Vastaavalla päättelyllä $Y$ ei voi olla ympyrän sisä­puolella. Täten $Y$ on ympyrän kehällä.

6.6 Tehtäviä

Kehäkulmalause-teksti ja tämä teksti muodostavat yhtenäisen kokonaisuuden, joka kertoo, miten ympyrät ja kulma­ehdot liittyvät toisiinsa. Tietyt kulma­ehdot toteutuvat täsmälleen silloin, kun pisteet ovat samalla ympyrällä.

Tämä aihe on vahvasti läsnä alla olevissa tehtävissä. Lisäksi tehtävät toimivat harjoituksena kulmien laskemiselle.

Tehtävä 1. Kuvassa on neli­kulmio $ABCD$. Tiedetään, että $\angle CBA = 90^{\circ}$, $\angle BAC = 70^{\circ}$ ja $\angle ADB = 20^{\circ}$. Kuinka suuri on kulma $\angle BDC$?

Tehtävä 2. Kuvassa on kolmio $ABC$ ja korkeus­janat $AD$, $BE$ ja $CF$. Korkeus­janat leikkaavat pisteessä $H$ (kuten todistettiin Kehäkulmalause-tekstin tehtävässä 7). Kuviossa on peräti kuusi jänne­neli­kulmiota. Mitkä ne ovat?

Tehtävä 3. Jatketaan edellisen tehtävän kuviosta. Osoita, että $H$ on kolmion $DEF$ kulman­puolittajien leikkaus­piste. Toisin sanoen osoita, että jana $EH$ puolittaa kulman $\angle FED$ (ja vastaavasti symmetriset tapaukset).

Tehtävä 4. Kolmion $ABC$ sivulla $BC$ on piste $D$, sivulla $AC$ piste $E$ ja sivulla $AB$ piste $F$. Olkoon $M$ kolmioiden $AEF$ ja $BDF$ ympärys­ympyröiden leikkaus­pisteistä se, joka ei ole $F$. Osoita, että pisteet $C, E, M$ ja $D$ ovat samalla ympyrällä.

(Toisin sanoen kolmioiden $AEF$, $BDF$ ja $CDE$ ympärys­ympyrät leikkaavat samassa pisteessä $M$.)

Tehtävä 5. Tekstissä osoitettiin, että mille tahansa kolmiolle $ABC$ on olemassa (tasan yksi) ympyrä, joka kulkee kunkin pisteen $A, B$ ja $C$ kautta. Tämä tehtiin tutkimalla pisteiden välisten janojen keski­normaaleja.

Muuntele todistuksen ideoita ja osoita, että mille tahansa kolmiolle $ABC$ on olemassa (tasan yksi) ympyrä, joka sivuaa kutakin janoista $AB, BC$ ja $CA$.

(Tätä ympyrää kutsutaan kolmion $ABC$ sisä­ympyräksi tai sisään piirretyksi ympyräksi. Se on suurin ympyrä, joka mahtuu kolmion $ABC$ sisään.)