12  Polynomit II

12.1 Johdanto

Jatkamme aiemmassa tekstissä aloitettua polynomien käsittelyä. Todistamme lauseen polynomin esittämisestä nolla­kohtiensa avulla ja annamme tulokselle sovelluksia. Esitämme myös pari tulosta, jotka kertovat, mitä ominaisuuksia polynomien nolla­kohdilla on.

12.2 Nolla­kohta­esitys

Palautetaan mieleen edellisen tekstin lause:

Todistuksen idea perustuu polynomien jako­yhtälön soveltamiseen. Jako­yhtälö nimittäin antaa seuraavan tuloksen.

Apulauseen todistus. Käytetään jako­yhtälöä polynomeille $P(x)$ ja $x - \alpha$. Jako­yhtälön nojalla on olemassa polynomit $Q(x)$ ja $R(x)$, joilla $$P(x) = (x - \alpha)Q(x) + R(x)$$ ja joilla polynomin $R(x)$ aste on pienempi kuin polynomin $x - \alpha$. Täten $R(x)$ on vakio­polynomi. Toisaalta asettamalla yllä olevaan yhtälöön $x = \alpha$ saadaan $R(\alpha) = 0$, eli $R$ on nolla­polynomi eli $P(x) = (x - \alpha)Q(x)$.

Lauseen todistus. Ideana on käyttää apulausetta toistuvasti. Käyttämällä ensin lemmaa nolla­kohdalle $\alpha_1$ löydetään jokin polynomi $Q_1(x)$, jolla $$P(x) = (x - \alpha_1)Q_1(x).$$ Polynomilla $Q_1$ on vielä nolla­kohdat $\alpha_2, \alpha_3, \ldots , \alpha_n$. Käyttämällä lemmaa polynomille $Q_1(x)$ ja sen nolla­kohdalle $\alpha_2$ saadaan $$Q_1(x) = (x - \alpha_2)Q_2(x).$$ Polynomilla $Q_2$ on vielä nolla­kohdat $\alpha_3, \alpha_4, \ldots , \alpha_n$. Jatketaan vastaavasti.

Toistamalla tätä prosessia päästään polynomiin $Q_{n+1}(x)$, jolla ei enää ole nolla­kohtia, eli $Q_{n+1}(x)$ on vakio­polynomi. Purkamalla saadut yhtälöt saadaan $$P(x) = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)Q_{n+1}(x).$$ Vertaamalla termin $x^n$ kertoimia yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella saadaan, että vakio­polynomin $Q_{n+1}(x)$ arvo on $a_n$.

12.4 Rationaaliset nolla­kohdat

Olemme puhuneet paljon nolla­kohdista, muttemme paljoa siitä, miten nolla­kohdat oikeasti löydetään. Syynä on se, että yleisen polynomi­yhtälön ratkaiseminen on vaikeaa. Toisen asteen yhtälö vaatii jo jonkin verran tekemistä ja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöt ovat vielä vaikeampia. Viidennen asteen yhtälöstä lähtien ei edes ole olemassa samantyyppistä ratkaisu­kaavaa kuin pienemmissä tapauksissa.

Edellisessä esimerkki­tehtävässä löysimme yhden hyvän idean: muodostamalla sopivia epäyhtälöitä voidaan saada tietoa siitä, kuinka suuria nolla­kohdat suunnilleen ovat.

Tässä osiossa käsitellään sitä, miltä polynomien rationaaliset nolla­kohdat näyttävät.

Todistus on melko yksin­kertainen. Oletetaan, että $s/t$ on nolla­kohta, eli $$a_n\left(\frac{s}{t}\right)^n + a_{n-1}\left(\frac{s}{t}\right)^{n-1} + \ldots + a_1\left(\frac{s}{t}\right) + a_0 = 0.$$ Kerrotaan puolittain luvulla $t^n$. $$a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1}t + \ldots + a_1st^{n-1} + a_0t^n = 0.$$ Tutkitaan nyt yhtälön termien jaollisuutta luvulla $s$. Oikea puoli on tietysti jaollinen luvulla $s$. Vasemmalla puolella kaikki paitsi viimeinen summattava ovat jaollisia luvulla $s$. Täten viimeisenkin summattavan $a_0t^n$ tulee olla jaollinen luvulla $s$. Miettimällä lukujen alku­tekijä­hajotelmia ja käyttämällä tietoa siitä, että $\frac{s}{t}$ on supistetussa muodossa (eli $\text{syt}(s, t) = 1$) saadaan, että $s$ jakaa luvun $a_0$.

Vastaavasti tutkimalla jaollisuutta luvulla $t$ saadaan, että $t$ jakaa luvun $a_n$.

12.5 Polynomi­epäyhtälö

Käsitellään vielä yhtä aihetta: polynomi­epäyhtälö. Tehdään tämä esimerkin kautta.

Tekstin teeman mukaisesti on luontevaa miettiä ensin polynomin nolla­kohtia. Rationaalisen nolla­kohdan tulee edellisen tuloksen nojalla olla $1$ tai $-1$. Huomataankin, että $-1$ on nolla­kohta, ja pienellä työllä saadaan tekijöihin­jako $$x^6 + 2x^5 + x^4 - x^3 - x^2 + x + 1 = (x+1)(x^5 + x^4 - x^2 + 1).$$

Huomataan, että $x = -1$ on edelleen toisen tulon­tekijän nolla­kohta.

Tämä ei ole sattumaa. Jos $-1$ ei olisi toisen tulon­tekijän nolla­kohta, muuttuisi polynomin $(x+1)(x^5 + x^4 - x^2 + 1)$ merkki pisteen $x = -1$ lähellä, koska termin $x+1$ merkki muuttuisi, mutta termin $x^5 + x^4 - x^2 + 1$ merkki ei muuttuisi. Me kuitenkin tiedämme, että merkki ei muutu: meitähän pyydetään todistamaan, että polynomi on aina vähintään nolla.

Eli totta kai $x = -1$ on (vähintään) kaksin­kertainen nolla­kohta. Hyödynnetään tätä. Tästä saadaan jaettua $x^5 + x^4 - x^2 + 1$ tekijöihin, ja tutkittava polynomi muuttuu muotoon $$(x+1)^2(x^4 - x + 1).$$ Koska $(x+1)^2$ on aina vähintään nolla, riittää enää todistaa, että $$x^4 - x + 1 \ge 0.$$

Tämä epäyhtälö vaatii uusia ideoita. Helppoja nolla­kohtia tai tekijöihin­jakoa ei enää löydy. Toteamme kuitenkin samaan tapaan kuin yllä, että jos polynomilla $x^4 - x + 1$ on reaalisia nolla­kohtia, niin niiden tulee olla vähintään kaksin­kertaisia. Voisi veikata, että kaksin­kertaisia nolla­kohtia ei ehkä enää löydy, eli reaalisia nolla­kohtia ei enää pitäisi löytyä.

Pystymmekö todistamaan tämän? Kuvitellaan, että $x$ on reaalinen nolla­kohta. Mitä luvusta $x$ voidaan sanoa? Selvästikään $x$ ei voi olla negatiivinen, koska negatiivisilla $x$ lausekkeen $x^4 - x + 1$ arvo on positiivinen. Luku $x$ ei myöskään voi olla vähintään $1$, koska tällöin $x^4 \ge x$ ja pätisi $x^4 - x + 1 \ge 1$. Kuitenkaan $x$ ei voi olla väliltä $[0, 1)$, koska tällöin $-x + 1 > 0$ ja siten myös $x^4 - x + 1 > 0$.

Siis $x^4 - x + 1$ on aina positiivinen. Täten $(x + 1)^2(x^4 - x + 1) \ge 0$, mikä todistaa tehtävän epäyhtälön.

12.6 Tehtäviä

Tehtävä 1. Ratkaise yhtälö $2x^3 - x^2 - 10x + 5 = 0$.

Tehtävä 2.

1. Todista, että $\sqrt{2}$ ei ole rationaalinen tutkimalla polynomia $x^2 - 2$.

2. Todista, että jos $n$ on sellainen positiivinen kokonais­luku, että $\sqrt{n}$ on rationaalinen, niin $\sqrt{n}$ on kokonais­luku (eli $n$ on neliö­luku).

Tehtävä 3.

1. Polynomilla $P(x)$ pätee $P(n) = n$ kaikilla kokonais­luvuilla $n$. Seuraako tästä, että $P(x) = x$ kaikilla reaali­luvuilla $x$?
2. Polynomilla $P(x)$ pätee $P(n) > n$ kaikilla kokonais­luvuilla $n$. Seuraako tästä, että $P(x) > x$ kaikilla reaali­luvuilla $x$?

Tehtävä 4. Olkoon $n$ positiivinen kokonais­luku. Osoita, että $\text{syt}(2n+1, n^2+1) \le 5$.

Tehtävä 5. Polynomin $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ nolla­kohdat ovat $a, b$ ja $c$. Laske $a^2 + b^2 + c^2$.

Tehtävä 6. Polynomin $P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ nolla­kohdat ovat $a, b$ ja $c$. Anna esimerkki (epävakiosta) polynomista, jonka kertoimet ovat kokonais­lukuja ja jolla on luvut $a^2, b^2$ ja $c^2$ nolla­kohtinaan.