19  Summia

19.3 Tärkeä perus­summa

Ehkäpä tärkein tämän tekstin summista on summa $$1 + 2 + 3 + \ldots + n.$$ Tätä käsitellään tässä osiossa. (Summaa on käsitelty tärkeytensä vuoksi myös Induktiivinen päättely -tekstissä.)

Ratkaisu 1. Summassa on $100$ termiä. Keskimäärin ne ovat noin $50$, eli summan arvo on noin $5000$. Tarkemmin huomataan, että keskimäärin luvut ovat $50{,}5$, koska luvut voidaan jakaa pareihin $$(1, 100), (2, 99), (3, 98), \ldots , (50, 51),$$ joissa kunkin parin lukujen keski­arvo on $50\text{,}5$. Täten haluttu summa on $$100 \cdot 50{,}5 = 5050.$$

Ratkaisu 2. Summan voi ajatella visuaalisesti erään portaikon ruutujen määränä. Alla on esitetty summa $1 + 2 + 3 + \ldots + 7$ portaikkona.

Voimme tehdä portaikosta kopion ja asettaa kopion niin, että saamme suora­kulmion:

Tästä nähdään, että $$1 + 2 + 3 + \ldots + 7 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 = 28.$$ Vastaavasti $$1 + 2 + 3 + \ldots + 100 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 101 = 5050.$$ Tietysti samaan tapaan saadaan yleisesti $$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

19.4 Klassikkoesimerkki

Ratkaisu 1 (induktiivinen ratkaisu). Tutkimalla pieniä tapauksia huomataan, että $$\frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2},$$ $$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$ $$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$$ ja $$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{3}{4} + \frac{1}{20} = \frac{4}{5}.$$ Kuvio on selvä, ja sen voi todistaa käyttämällä induktiivista päättelyä. Yksityis­kohtia ei käydä läpi tässä.

Ratkaisu 2 (teleskooppi­summa­ratkaisu). Huomataan¹, että $$\frac{1}{i(i+1)} = \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1}.$$ (Tämän pätevyyden voi tarkistaa esimerkiksi kertomalla puolittain luvulla $i(i+1)$ ja sieventämällä. Sitä, mistä tämän voi keksiä, käsitellään seuraavassa osiossa.) Täten $$\begin{eqnarray} & & \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{100 \cdot 101} \\ &=& \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{100} - \frac{1}{101}\right) \\ &=& \frac{1}{1} - \frac{1}{101} = \frac{100}{101}, \end{eqnarray}$$ koska summassa melkein kaikki supistuu pois.

Ratkaisun 2 ideaa kutsutaan teleskooppi­summaksi. Ideana on siis kirjoittaa summan termit sellaiseen muotoon, että summattaessa termejä supistuu pois. Nimitys ”teleskooppi­summa” tulee siitä, että summa kutistuu kasaan kuten teleskooppi.

19.5 Teleskooppi­summat

Teleskooppi­summa voi aluksi tuntua melko satunnaiselta tempulta, mutta sitä voi käyttää yllättävän monen summan laskemiseen. Alla on tästä esimerkkejä.

Idea: Yritetään kirjoittaa $2^{k}$ muotoon $f(k+1) - f(k)$. Jos tämä onnistuu, voimme laskea summan teleskooppi­summana.

Koska $2^{k}$ on eksponentti­funktio, voisi veikata että $f(k)$ kannattaa myös valita joksikin eksponentti­lausekkeeksi. Veikataan $f(k) = 2^k$. Tämä toimii: $$f(k+1) - f(k) = 2^{k+1} - 2^k = 2^k.$$ Täten summan voi kirjoittaa muodossa

$$\begin{eqnarray} & & 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{n-1} \\ &=& \left(2 - 1\right) + \left(4 - 2\right) + \left(8 - 4\right) + \ldots + \left(2^n - 2^{n-1}\right) \\ &=& 2^n - 1. \end{eqnarray}$$ Haluttu summa on siis $2^n - 1$.

Idea: Yritetään kirjoittaa $k^2$ muotoon $f(k+1) - f(k)$, jolloin saamme jälleen teleskooppi­summan.

Mistä keksimme sellaisen lausekkeen $f$, jolla $f(k+1) - f(k) = k^2$? Luonnollinen arvaus on, että $f$ on polynomi, koska $k^2$ on. Aluksi voisi veikata, että $f$ on jokin toisen asteen polynomi $$f(i) = ak^2 + bk + c.$$ Huomataan kuitenkin, että toisen asteen termit supistuvat pois, koska erotuksessa $$f(k+1) - f(k) = \left(a(k+1)^2 + b(k+1) + c\right) - \left(ak^2 + bk + c\right)$$ molemmissa erotuksen polynomeissa termin $k^2$ kerroin on $a$.

Veikataan sitten, että $f$ on jokin kolmannen asteen polynomi $$f(k) = ak^3 + bk^2 + ck + d.$$ Lasketaan erotus. Tämä on hieman työlästä, mutta ei voi mitään.

Haluamme, että tämä on sama kuin $k^2$. Täten tulee olla $$\begin{cases} 3a = 1 \\ 3a + 2b = 0 \\ a + b + c = 0. \end{cases}$$ Tämä on helppo yhtälö­ryhmä: ensimmäisestä yhtälöstä saadaan $a = 1/3$ ja sen jälkeen toisesta $b = -1/2$ ja kolmannesta $c = 1/6$. Luku $d$ voi olla mitä vain. Valitaan yksin­kertaisuuden vuoksi $d = 0$.

Täten $$f(k) = \frac{1}{3}k^3 - \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{6}k.$$ Nyt pääsemme käyttämään teleskooppi­summaa: $$\begin{eqnarray} & & 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 \\ &=& \left(f(2) - f(1)\right) + \left(f(3) - f(2)\right) + \ldots + \left(f(n+1) - f(n)\right) \\ &=& f(n+1) - f(1). \end{eqnarray}$$ Enää pitää laskea vastaus, mikä on jälleen hieman työlästä.

Vastauksen voi kirjoittaa vielä hieman sievemmin tulo­muotoon $$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

19.6 Tehtäviä

Tehtävä 1. Kirjoita summa $$\sum_{k = 1}^n k = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$$ teleskooppi­summana ja laske summa.

Tehtävä 2. Laske $$\sum_{k = 1}^n 2k+1 = 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + (2n+1)$$ teleskooppi­summalla tai induktiivisella päättelyllä.

Tehtävä 3. Laske $$\sum_{k = 0}^{n-1} 3^k = 1 + 3 + 9 + 27 + \ldots + 3^{n-1}.$$

Tehtävä 4. Määritellään binomi­kerroin­polynomit² $P_0, P_1, P_2, P_3, \ldots$ kaavoilla

$$\begin{gather*} P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x, \\[1ex] P_2(x) = \frac{x(x-1)}{2!}, \quad P_3(x) = \frac{x(x-1)(x-2)}{3!} \end{gather*}$$

ja yleisesti $$P_n(x) = \frac{x(x-1)(x-2) \cdots (x-(n-1))}{n!}.$$

1. Osoita, että $$P_{n+1}(x+1) - P_{n+1}(x) = P_n(x),$$ kun $n \ge 0$.
2. Etsi sellaiset luvut $a$ ja $b$, joilla $$x^2 = aP_2(x) + bP_1(x).$$
3. Laske tätä kautta summa $$\sum_{x = 1}^n x^2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2.$$

Tehtävä 5. Etsi sellainen lauseke $f$, jolla $f(k+1) - f(k) = k2^k$, ja laske summa $$\sum_{k = 1}^n k2^k.$$