Epäyhtälöitä tulee vastaan tietysti algebran tehtävissä, mutta myös kombinatoriikassa ja lukuteoriassa. Tässä tekstissä esitetään työkaluja, jotka sopivat niin puhtaisiin epäyhtälötehtäviin kuin sovelluskohteisiin.
23.2 QM-AM-GM-HM
Mietitään seuraavia kysymyksiä:
Positiivisten lukujen summan tiedetään olevan . Kuinka pieni/suuri voi pienimmillään/suurimmillaan olla?
Positiivisten lukujen summan tiedetään olevan . Kuinka pieni/suuri voi pienimmillään/suurimmillaan olla?
Positiivisten lukujen summan tiedetään olevan . Kuinka pieni/suuri voi pienimmillään/suurimmillaan olla?
Tässä on vastaukset.
Kysymys (i): on suurimmillaan, kun yksi luvuista on suunnilleen ja muut luvut ovat suunnilleen , jolloin lausekkeen arvo on noin . Kertomalla auki nimittäin nähdään, että Pienimmillään neliöiden summa on silloin, kun kaikki luvuista ovat yhtä suuria (tämä perustellaan myöhemmin).
Kysymys (ii): Tulo voi olla niin lähellä nollaa kuin halutaan, koska jotkin luvuista voidaan valita hyvin lähelle nollaa. Sen sijaan tulo on suurimmillaan silloin, kun kaikki luvuista ovat yhtä suuria (Arviointi ja epäyhtälöt -tekstissä nähtiin jonkinnäköinen perustelu, ja alla esitetään toinen). Siis tulo on enintään .
Kysymys (iii): voidaan saada niin suureksi kuin halutaan valitsemalla jokin luvuista olemaan hyvin pieni. Sen sijaan summan arvo on pienimmillään kun luvut ovat yhtä suuria. Tällöin summan arvo on .
Seuraava lause kertoo vastauksen kunkin kysymyksen vaikeampaan puoleen.
Lause 23.1 (QM-AM-GM-HM) Olkoot positiivisia lukuja. Tällöin pätee Jos jossakin epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus, niin .
Vasemmalta oikealle tehtävän lausekkeita kutsutaan lukujen kvadraattiseksi keskiarvoksi, aritmeettiseksi keskiarvoksi, geometriseksi keskiarvoksi ja harmoniseksi keskiarvoksi. Tästä tulee lauseen nimitys QM-AM-GM-HM (esim. kvadraattinen keskiarvo on englanniksi ”quadratic mean”).1
1 Keskiarvoille löytyy ”oikean elämän” tulkintoja. Aritmeettinen keskiarvo on tavallinen keskiarvo. Geometrinen keskiarvo voidaan tulkita niin, että jos maan väkiluku ensimmäisenä vuonna -kertaistuu, toisena -kertaisuu ja niin edelleen vuoden ajan, kasvaa väkiluku saman verra kuin jos se olisi joka vuosi -kertaistunut. Harmoninen keskiarvo: jos auto ajaa yhden kilometrin nopeudella kilometriä tunnissa, toisen nopeudella kilometriä tunnissa ja niin edelleen, on keskinopeus kilometriä tunnissa.
Todistetaan tässä QM-AM- ja AM-HM-epäyhtälöt. Geometriseen keskiarvoon palataan tämän tekstin loppupuolella.
Alla on epäyhtälöiden todistukset. Todistusten idea on tärkeä: kohtalaisen vaikeitakin tuloksia saa todistettua ryhmittelemällä vain termejä sopivasti neliöiden summiksi. Esimerkiksi ainoa varsinainen epäyhtälö, jota alla olevat todistukset käyttävät, on , josta saadaan .
QM-AM. Riittää todistaa neliöity epäyhtälö Kerrotaan oikean puolen tulo auki. Tästä saadaan summa missä ja käyvät yhteensä eri termiä läpi. Käytetään tähän epäyhtälöä . Saadaan mikä on haluttu epäyhtälö.
AM-HM. Kerrotaan epäyhtälöä auki. Riittää todistaa Kerrotaan taas tulo auki. Ulos tulee ensinnäkin termejä muotoa , jokaiselle yksi kappale. Näiden termien summa on .
Lisäksi ulos tulee kappaletta termejä muotoa , missä . Nämä voidaan ryhmitellä pareihin . Tämä summa on vähintään kaksi, koska Täten näiden parin summa on vähintään .
Kaiken kaikkiaan auki kerrottu summa on siis vähintään .
23.3 Jensenin epäyhtälö
Lämmittelykysymys: Kumpi luvuista ja on suurempi?
Vastaus: . Epäyhtälön voi kirjoittaa muotoon Epäyhtälö pätee, koska neliöjuuren kasvunopeus hidastuu lukujen kasvaessa, ja siten ja ovat lähempänä toisiaan kuin ja .
Jensenin epäyhtälö yleistää tätä ideaa. Ennen epäyhtälön esittämistä pitää selittää, mitä tarkalleen tarkoittaa, että funktion ”kasvunopeus hidastuu” (tai vastaavasti että kasvunopeus kasvaa). Tämän ominaisuuden omaavaa funktiota kutsutaan konkaaviksi (vastaavasti konveksiksi).
23.3.1 Konveksisuus ja konkaavius
Määritelmä 23.1 Funktio on konveksi, jos valittaessa mitkä tahansa kaksi kuvaajan pistettä on pisteiden välinen jana kuvaajan yläpuolella (tai sen päällä).
Mikä tahansa kuvaajan pisteiden välinen jana kulkee kuvaajan yläpuolella.
Tämän geometrisen ehdon voi esittää myös algebrallisesti. Valitaan jokin piste pisteiden väliseltä janalta. Se saadaan ottamalla painotettu keskiarvo pisteistä: painotetaan pistettä painolla ja pistettä painolla , missä . Nyt pisteen -koordinaatti on ja -koordinaatti on
Janalta valittu piste on kuvaajan pisteen yläpuolella.
Valitaan sitten kuvaajalta vastaavasta kohdasta piste , eli valitaan kuvaajan piste, jonka -koordinaatti on . Sen -koordinaatti on . Täten funktio on konveksi täsmälleen silloin, kun
Konveksisuus tarkoittaa, että funktion kasvunopeus kasvaa. Vastaavasti voidaan määritellä konkaavi funktio olemaan sellainen, jolla kahden funktion kuvaajan pisteen välinen jana on kuvaajan alapuolella. Samanlaisella päättelyllä kuin yllä saadaan, että funktio on konkaavi jos kaikilla .
Käytännössä helpoin tapa tutkia kasvaako funktion kasvunopeus on tutkimalla sen derivaattoja2. Funktio on konveksi täsmälleen silloin, kun kaikilla (olettaen, että funktiota todella voidaan derivoida kaksi kertaa) ja konkaavi jos .
2 …jos on jo lukiossa opiskellut derivaatat. Muussa tapauksessa: sivuuta toistaiseksi kohdat, joita et ymmärrä.
Tässä on listattu muutamia tärkeitä konvekseja ja konkaaveja funktioita.
on konveksi positiivisilla luvuilla , kun .
on konkaavi.
on konveksi.
on konkaavi.
on konveksi.
Eli monien tuttujen funktioiden tapauksessa funktion kuvaajan perusteella tehty arvaus konveksisuudesta/konkaaviudesta on oikein.
23.3.2 Jensenin epäyhtälö
Tässä on tämän aliluvun päätulos. Epäyhtälölle esitetään sovelluksia seuraavassa aliluvussa.
Lause 23.2 (Jensenin epäyhtälö) Olkoon konveksi funktio ja olkoot lukuja. Tällöin Jos on konkaavi funktio, epäyhtälö pätee toiseen suuntaan.
Annetaan lauseelle tiivis todistus. Todistuksen idea on todistaa yleisempi väite induktiolla. (Käsittelemme vain tapauksen, jossa on konveksi, koska konkaavi tapaus on samankaltainen.)
Todistus. Todistetaan yleisemmin, että jos ovat painokertoimia, jotka ovat vähintään nolla ja joiden summa on , niin Jensenin epäyhtälö saadaan valitsemalla painokertoimet olemaan .
Tapaus on konveksisuuden määritelmä. Suoritetaan induktioaskel.
Olkoot ja annettuja lukuja. Pakotetaan summa muotoon, johon voidaan käyttää induktio-oletusta (eli yritetään saada painokertoimien summaksi ) ja käytetään sitten induktio-oletusta:
Väite seuraa soveltamalla tähän konveksisuuden määritelmää.
23.3.3 Sovelluksia
QM-AM: Funktio on konveksi, joten jos ovat joitakin lukuja, niin Ottamalla tästä neliöjuuri saadaan QM-AM-epäyhtälö.
AM-GM: Funktio on konveksi, joten jos ovat joitakin lukuja, niin Nyt jos ovat positiivisia lukuja, niin valitaan yllä olevassa epäyhtälössä , jolloin saadaan AM-GM-epäyhtälö.
GM-HM: Kuten AM-GM -epäyhtälön todistuksessa, Valitaan luvut niin, että . Ristiin kertomisten ja jakamisten jälkeen saadaan mikä on haluttu väite.
23.4 Lisäesimerkki
Esitetään vielä esimerkki, joka ei liity Jensenin epäyhtälöön.
Tehtävä 23.1 Positiivisten lukujen ja summa on . Kuinka suuri voi olla enimmillään?
Tilanne muistuttaa hieman aritmeettis-geometrista epäyhtälöä, joka antaa Oikealla kuitenkin esiintyy termi eikä haluamamme .
Miten saamme oikealle termin ? Voisimme yrittää soveltaa AM-GM:ää seuraavasti: Tässäkin on ongelmansa: vasemmalle puolelle tulee lauseke , jota ei osata arvioida.
Ideana on käyttää AM-GM:ää luvuille, jotka eivät ole ja vaan painotettuja versioita niistä. Pätee (Ei ihan helppo keksiä itse.) Epäyhtälön vasen puoli on , joten saamme eli laskujen jälkeen
AM-GM:ssä pätee yhtäsuuruus, kun luvut ovat yhtä suuria, eli kun . Yhdistettynä tietoon tämä tarkoittaa, että saa maksimiarvonsa, kun ja , jolloin tosiaan pätee .
Kommentti. Miten voi päätyä painottamaan AM-GM:ää esitetyllä tavalla?
Yksi tapa on miettiä, miten AM-GM-epäyhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle saadaan sopivanlaiset lausekkeet ( ja ).
Toinen tapa on miettiä tarkkaan epäyhtälön yhtäsuuruustapauksia. On selvää, että ei ole suurimmillaan, kun : on järkevää panostaa siihen, että on suuri, koska lukua on tulossa kolme kappaletta. Sen sijaan jos AM-GM:ää sovelletaan vaikkapa muodossa pätee yhtäsuuruus kun . Yhtäsuuruustapaukset menevät väärin, joten lähestymistapa ei voi toimia.
Siis aritmeettis-geometrisen epäyhtälön soveltamisessa pitää ottaa huomioon se, milloin saa maksimiarvonsa. Tämä onnistuu painottamalla lukuja sopivasti.
23.5 Tehtäviä
Tehtävä 1. Osoita, että jos ja ovat positiivisia lukuja, niin
Tehtävä 2. Osoita, että jos ja ovat positiivisia lukuja, niin
Tehtävä 3. Polynomin kaikki kolme nollakohtaa ovat positiivisia. Osoita, että ja .
Tehtävä 4. Osoita, että jos ja ovat positiivisia lukuja, niin
Tehtävä 5. Osoita, että jos ja ovat positiivisia lukuja, niin
Tehtävä 6. Tunnettu Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö sanoo, että jos ja ovat reaalilukuja, niin
